Производная log(x)+cos(2/x)

Вы ввели

            /2\
log(x) + cos|-|
            \x/

$$\log{\left (x \right )} + \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} + \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$ почленно:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   2. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

   3. Производная косинус есть минус синус:

      $\frac{d}{d u} \cos{\left (u \right )} = - \sin{\left (u \right )}$

   4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

   В результате: $\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2 \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(x + 2 \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$

Первая производная

         /2\
    2*sin|-|
1        \x/
- + --------
x       2   
       x    

$$\frac{1}{x} + \frac{2}{x^{2}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Вторая производная

 /         /2\        /2\\ 
 |    4*sin|-|   4*cos|-|| 
 |         \x/        \x/| 
-|1 + -------- + --------| 
 |       x           2   | 
 \                  x    / 
---------------------------
              2            
             x             

$$- \frac{1}{x^{2}} \left(1 + \frac{4}{x} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{4}{x^{2}} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$

Третья производная

  /         /2\        /2\         /2\\
  |    4*sin|-|   6*sin|-|   12*cos|-||
  |         \x/        \x/         \x/|
2*|1 - -------- + -------- + ---------|
  |        3         x            2   |
  \       x                      x    /
---------------------------------------
                    3                  
                   x                   

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 + \frac{12}{x} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{24}{x^{2}} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{8}{x^{3}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$