Производная (log(x)+1)/log(x)

Вы ввели

log(x) + 1
----------
  log(x)  

$$\frac{\log{\left (x \right )} + 1}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )} + 1$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $\log{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате: $\frac{1}{x}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{x} \left(\log{\left (x \right )} + 1\right) + \frac{1}{x} \log{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

   1       log(x) + 1
-------- - ----------
x*log(x)        2    
           x*log (x) 

$$- \frac{\log{\left (x \right )} + 1}{x \log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{1}{x \log{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2      1 + log(x)   2*(1 + log(x))
-1 - ------ + ---------- + --------------
     log(x)     log(x)           2       
                              log (x)    
-----------------------------------------
                 2                       
                x *log(x)                

$$\frac{1}{x^{2} \log{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )} + 1}{\log{\left (x \right )}} + \frac{2 \log{\left (x \right )} + 2}{\log^{2}{\left (x \right )}} - 1 - \frac{2}{\log{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /      3         3      1 + log(x)   3*(1 + log(x))   3*(1 + log(x))\
2*|1 + ------ + ------- - ---------- - -------------- - --------------|
  |    log(x)      2        log(x)           3                2       |
  \             log (x)                   log (x)          log (x)    /
-----------------------------------------------------------------------
                                3                                      
                               x *log(x)                               

$$\frac{1}{x^{3} \log{\left (x \right )}} \left(- \frac{2 \log{\left (x \right )} + 2}{\log{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (x \right )} + 6}{\log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (x \right )} + 6}{\log^{3}{\left (x \right )}} + 2 + \frac{6}{\log{\left (x \right )}} + \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$