Производная log(x+1)/log(x)

Вы ввели

log(x + 1)
----------
  log(x)  

$$\frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{\log{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\log^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{\log{\left (x \right )}}{x + 1} - \frac{1}{x} \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x \log{\left (x \right )} - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}}{x \left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \log{\left (x \right )} - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )}}{x \left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

      1          log(x + 1)
-------------- - ----------
(x + 1)*log(x)        2    
                 x*log (x) 

$$\frac{1}{\left(x + 1\right) \log{\left (x \right )}} - \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x \log^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

     1       log(1 + x)          2           2*log(1 + x)
- -------- + ---------- - ---------------- + ------------
         2    2           x*(1 + x)*log(x)     2    2    
  (1 + x)    x *log(x)                        x *log (x) 
---------------------------------------------------------
                          log(x)                         

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{x \left(x + 1\right) \log{\left (x \right )}} + \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{2 \log{\left (x + 1 \right )}}{x^{2} \log^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   2       6*log(1 + x)   6*log(1 + x)   2*log(1 + x)           3                   3                   6         
-------- - ------------ - ------------ - ------------ + ----------------- + ----------------- + ------------------
       3     3    3         3    2         3                     2           2                   2            2   
(1 + x)     x *log (x)     x *log (x)     x *log(x)     x*(1 + x) *log(x)   x *(1 + x)*log(x)   x *(1 + x)*log (x)
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                      log(x)                                                      

$$\frac{1}{\log{\left (x \right )}} \left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{3}{x \left(x + 1\right)^{2} \log{\left (x \right )}} + \frac{3}{x^{2} \left(x + 1\right) \log{\left (x \right )}} + \frac{6}{x^{2} \left(x + 1\right) \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{2 \log{\left (x + 1 \right )}}{x^{3} \log{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (x + 1 \right )}}{x^{3} \log^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \log{\left (x + 1 \right )}}{x^{3} \log^{3}{\left (x \right )}}\right)$$