Производная log(x+1/x)

Вы ввели

   /    1\
log|x + -|
   \    x/

$$\log{\left (x + \frac{1}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = x + \frac{1}{x}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + \frac{1}{x}\right)$:

   1. дифференцируем $x + \frac{1}{x}$ почленно:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате: $1 - \frac{1}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} - 1}{x \left(x^{2} + 1\right)}$

Первая производная

    1 
1 - --
     2
    x 
------
    1 
x + - 
    x 

$$\frac{1 - \frac{1}{x^{2}}}{x + \frac{1}{x}}$$

Вторая производная

             2
     /    1 \ 
     |1 - --| 
     |     2| 
2    \    x / 
-- - ---------
 3         1  
x      x + -  
           x  
--------------
        1     
    x + -     
        x     

$$\frac{1}{x + \frac{1}{x}} \left(- \frac{\left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{2}}{x + \frac{1}{x}} + \frac{2}{x^{3}}\right)$$

Третья производная

  /               3             \
  |       /    1 \      /    1 \|
  |       |1 - --|    3*|1 - --||
  |       |     2|      |     2||
  |  3    \    x /      \    x /|
2*|- -- + --------- - ----------|
  |   4           2    3 /    1\|
  |  x     /    1\    x *|x + -||
  |        |x + -|       \    x/|
  \        \    x/              /
---------------------------------
                  1              
              x + -              
                  x              

$$\frac{1}{x + \frac{1}{x}} \left(\frac{2 \left(1 - \frac{1}{x^{2}}\right)^{3}}{\left(x + \frac{1}{x}\right)^{2}} - \frac{6 - \frac{6}{x^{2}}}{x^{3} \left(x + \frac{1}{x}\right)} - \frac{6}{x^{4}}\right)$$