Производная log(x+1)/(x-1)

Вы ввели

log(x + 1)
----------
  x - 1   

$$\frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{x - 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x + 1 \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x - 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x + 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x + 1\right)$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x + 1}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2}} \left(\frac{x - 1}{x + 1} - \log{\left (x + 1 \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} \left(x - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} \left(x - \left(x + 1\right) \log{\left (x + 1 \right )} - 1\right)$

Первая производная

       1          log(x + 1)
--------------- - ----------
(x + 1)*(x - 1)           2 
                   (x - 1)  

$$\frac{1}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} - \frac{\log{\left (x + 1 \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

     1              2           2*log(1 + x)
- -------- - ---------------- + ------------
         2   (1 + x)*(-1 + x)            2  
  (1 + x)                        (-1 + x)   
--------------------------------------------
                   -1 + x                   

$$\frac{1}{x - 1} \left(- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{2}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)} + \frac{2}{\left(x - 1\right)^{2}} \log{\left (x + 1 \right )}\right)$$

Третья производная

   2       6*log(1 + x)           3                   6        
-------- - ------------ + ----------------- + -----------------
       3            3            2                            2
(1 + x)     (-1 + x)      (1 + x) *(-1 + x)   (1 + x)*(-1 + x) 
---------------------------------------------------------------
                             -1 + x                            

$$\frac{1}{x - 1} \left(\frac{2}{\left(x + 1\right)^{3}} + \frac{3}{\left(x - 1\right) \left(x + 1\right)^{2}} + \frac{6}{\left(x - 1\right)^{2} \left(x + 1\right)} - \frac{6}{\left(x - 1\right)^{3}} \log{\left (x + 1 \right )}\right)$$