Производная log((x+3)/(x+1))

Вы ввели

   /x + 3\
log|-----|
   \x + 1/

$$\log{\left (\frac{x + 3}{x + 1} \right )}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \frac{x + 3}{x + 1}$.

2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x + 3}{x + 1}\right)$:

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x + 3$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 3$ почленно:

         1. Производная постоянной $3$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         В результате: $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $- \frac{2}{\left(x + 1\right)^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2 x + 2}{\left(x + 1\right)^{2} \left(x + 3\right)}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)}$

Первая производная

        /  1      x + 3  \
(x + 1)*|----- - --------|
        |x + 1          2|
        \        (x + 1) /
--------------------------
          x + 3           

$$\frac{1}{x + 3} \left(x + 1\right) \left(\frac{1}{x + 1} - \frac{x + 3}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$

Вторая производная

/    3 + x\ /    1       1  \
|1 - -----|*|- ----- - -----|
\    1 + x/ \  1 + x   3 + x/
-----------------------------
            3 + x            

$$\frac{1}{x + 3} \left(1 - \frac{x + 3}{x + 1}\right) \left(- \frac{1}{x + 3} - \frac{1}{x + 1}\right)$$

Третья производная

  /    3 + x\ /   1          1              1       \
2*|1 - -----|*|-------- + -------- + ---------------|
  \    1 + x/ |       2          2   (1 + x)*(3 + x)|
              \(1 + x)    (3 + x)                   /
-----------------------------------------------------
                        3 + x                        

$$\frac{2}{x + 3} \left(1 - \frac{x + 3}{x + 1}\right) \left(\frac{1}{\left(x + 3\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x + 1\right) \left(x + 3\right)} + \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}\right)$$