Производная log(x)*log(x-1)

Вы ввели

log(x)*log(x - 1)

$$\log{\left (x \right )} \log{\left (x - 1 \right )}$$

Подробное решение

1. Применяем правило производной умножения:

   $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

   $f{\left (x \right )} = \log{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

   $g{\left (x \right )} = \log{\left (x - 1 \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = x - 1$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x - 1\right)$:

      1. дифференцируем $x - 1$ почленно:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

         В результате: $1$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x - 1}$

   В результате: $\frac{\log{\left (x \right )}}{x - 1} + \frac{1}{x} \log{\left (x - 1 \right )}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x \left(x - 1\right)} \left(x \log{\left (x \right )} + \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )}\right)$

---

Ответ:

$\frac{1}{x \left(x - 1\right)} \left(x \log{\left (x \right )} + \left(x - 1\right) \log{\left (x - 1 \right )}\right)$

Первая производная

log(x - 1)   log(x)
---------- + ------
    x        x - 1 

$$\frac{\log{\left (x \right )}}{x - 1} + \frac{1}{x} \log{\left (x - 1 \right )}$$

Вторая производная

  log(-1 + x)     log(x)        2     
- ----------- - --------- + ----------
        2               2   x*(-1 + x)
       x        (-1 + x)              

$$- \frac{\log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{2}} + \frac{2}{x \left(x - 1\right)} - \frac{1}{x^{2}} \log{\left (x - 1 \right )}$$

Третья производная

       3             3        2*log(-1 + x)    2*log(x)
- ----------- - ----------- + ------------- + ---------
            2    2                   3                3
  x*(-1 + x)    x *(-1 + x)         x         (-1 + x) 

$$\frac{2 \log{\left (x \right )}}{\left(x - 1\right)^{3}} - \frac{3}{x \left(x - 1\right)^{2}} - \frac{3}{x^{2} \left(x - 1\right)} + \frac{2}{x^{3}} \log{\left (x - 1 \right )}$$