Производная (log(x)^5)/x

Вы ввели

   5   
log (x)
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \log^{5}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log^{5}{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{5}$ получим $5 u^{4}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{5}{x} \log^{4}{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log^{5}{\left (x \right )} + 5 \log^{4}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 5\right) \log^{4}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 5\right) \log^{4}{\left (x \right )}$

Первая производная

     5           4   
  log (x)   5*log (x)
- ------- + ---------
      2          2   
     x          x    

$$- \frac{1}{x^{2}} \log^{5}{\left (x \right )} + \frac{5}{x^{2}} \log^{4}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

   3    /                      2   \
log (x)*\20 - 15*log(x) + 2*log (x)/
------------------------------------
                  3                 
                 x                  

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \log^{2}{\left (x \right )} - 15 \log{\left (x \right )} + 20\right) \log^{3}{\left (x \right )}$$

Третья производная

   2    /                       3            2   \
log (x)*\60 - 120*log(x) - 6*log (x) + 55*log (x)/
--------------------------------------------------
                         4                        
                        x                         

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \log^{3}{\left (x \right )} + 55 \log^{2}{\left (x \right )} - 120 \log{\left (x \right )} + 60\right) \log^{2}{\left (x \right )}$$