Производная log(x)^3/x

Вы ввели

   3   
log (x)
-------
   x   

$$\frac{1}{x} \log^{3}{\left (x \right )}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = \log^{3}{\left (x \right )}$ и $g{\left (x \right )} = x$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{3}{x} \log^{2}{\left (x \right )}$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log^{3}{\left (x \right )} + 3 \log^{2}{\left (x \right )}\right)$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 3\right) \log^{2}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$\frac{1}{x^{2}} \left(- \log{\left (x \right )} + 3\right) \log^{2}{\left (x \right )}$

Первая производная

     3           2   
  log (x)   3*log (x)
- ------- + ---------
      2          2   
     x          x    

$$- \frac{1}{x^{2}} \log^{3}{\left (x \right )} + \frac{3}{x^{2}} \log^{2}{\left (x \right )}$$

Вторая производная

/                    2   \       
\6 - 9*log(x) + 2*log (x)/*log(x)
---------------------------------
                 3               
                x                

$$\frac{1}{x^{3}} \left(2 \log^{2}{\left (x \right )} - 9 \log{\left (x \right )} + 6\right) \log{\left (x \right )}$$

Третья производная

  /                     3            2   \
3*\2 - 12*log(x) - 2*log (x) + 11*log (x)/
------------------------------------------
                     4                    
                    x                     

$$\frac{1}{x^{4}} \left(- 6 \log^{3}{\left (x \right )} + 33 \log^{2}{\left (x \right )} - 36 \log{\left (x \right )} + 6\right)$$