Производная -cot(x/2)

Вы ввели

    /x\
-cot|-|
    \2/

$$- \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Один из способов:

      1. Заменим $u = \frac{x}{2}$.

      2. $\frac{d}{d u} \cot{\left (u \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (u \right )}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{x}{2}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $\frac{1}{2}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\frac{1}{2} \sin^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2} \cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}{\cos^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} + 1\right) \tan^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )}}$

Первая производная

       2/x\
    cot |-|
1       \2/
- + -------
2      2   

$$\frac{1}{2} \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + \frac{1}{2}$$

Вторая производная

 /       2/x\\    /x\ 
-|1 + cot |-||*cot|-| 
 \        \2//    \2/ 
----------------------
          2           

$$- \frac{1}{2} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \cot{\left (\frac{x}{2} \right )}$$

Третья производная

/       2/x\\ /         2/x\\
|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-||
\        \2// \          \2//
-----------------------------
              4              

$$\frac{1}{4} \left(\cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left (\frac{x}{2} \right )} + 1\right)$$