Производная -1/(e^x+1)

Вы ввели

 -1   
------
 x    
E  + 1

$$- \frac{1}{e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = e^{x} + 1$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} + 1\right)$:

      1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         В результате: $e^{x}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

     x   
    e    
---------
        2
/ x    \ 
\E  + 1/ 

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/        x \   
|     2*e  |  x
|1 - ------|*e 
|         x|   
\    1 + e /   
---------------
           2   
   /     x\    
   \1 + e /    

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right)$$

Третья производная

/        x         2*x \   
|     6*e       6*e    |  x
|1 - ------ + ---------|*e 
|         x           2|   
|    1 + e    /     x\ |   
\             \1 + e / /   
---------------------------
                 2         
         /     x\          
         \1 + e /          

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$