Производная -(1/(sin(x)^(3)))

Вы ввели

  -1   
-------
   3   
sin (x)

$$- \frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin^{3}{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin^{3}{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

      2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате последовательности правил:

         $3 \sin^{2}{\left (x \right )} \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$

Первая производная

3*cos(x)
--------
   4    
sin (x) 

$$\frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

   /         2   \
   |    4*cos (x)|
-3*|1 + ---------|
   |        2    |
   \     sin (x) /
------------------
        3         
     sin (x)      

$$- \frac{1}{\sin^{3}{\left (x \right )}} \left(3 + \frac{12 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

  /           2   \       
  |     20*cos (x)|       
3*|11 + ----------|*cos(x)
  |         2     |       
  \      sin (x)  /       
--------------------------
            4             
         sin (x)          

$$\frac{3 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}} \left(11 + \frac{20 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$