Производная -1/(t*(t-1))

Вы ввели

   -1    
---------
t*(t - 1)

$$- \frac{1}{t \left(t - 1\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = t \left(t - 1\right)$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t}\left(t \left(t - 1\right)\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d t}\left(f{\left (t \right )} g{\left (t \right )}\right) = f{\left (t \right )} \frac{d}{d t} g{\left (t \right )} + g{\left (t \right )} \frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$

         $f{\left (t \right )} = t$; найдём $\frac{d}{d t} f{\left (t \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         $g{\left (t \right )} = t - 1$; найдём $\frac{d}{d t} g{\left (t \right )}$:

         1. дифференцируем $t - 1$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

            2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате: $2 t - 1$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 t - 1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 t - 1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 t - 1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 t - 1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}}$

Первая производная

-(1 - 2*t) 
-----------
 2        2
t *(t - 1) 

$$- \frac{- 2 t + 1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /    -1 + 2*t   -1 + 2*t\
2*|1 - -------- - --------|
  \       t        -1 + t /
---------------------------
         2         2       
        t *(-1 + t)        

$$\frac{1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}} \left(2 - \frac{4 t - 2}{t - 1} - \frac{1}{t} \left(4 t - 2\right)\right)$$

Третья производная

  /  4     4      3*(-1 + 2*t)   3*(-1 + 2*t)   4*(-1 + 2*t)\
2*|- - - ------ + ------------ + ------------ + ------------|
  |  t   -1 + t         2                 2      t*(-1 + t) |
  \                    t          (-1 + t)                  /
-------------------------------------------------------------
                          2         2                        
                         t *(-1 + t)                         

$$\frac{1}{t^{2} \left(t - 1\right)^{2}} \left(- \frac{8}{t - 1} + \frac{12 t - 6}{\left(t - 1\right)^{2}} - \frac{8}{t} + \frac{16 t - 8}{t \left(t - 1\right)} + \frac{1}{t^{2}} \left(12 t - 6\right)\right)$$