Производная -1/tan(x)

Вы ввели

 -1   
------
tan(x)

$$- \frac{1}{\tan{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

 /        2   \ 
-\-1 - tan (x)/ 
----------------
       2        
    tan (x)     

$$- \frac{- \tan^{2}{\left (x \right )} - 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                /           2   \
  /       2   \ |    1 + tan (x)|
2*\1 + tan (x)/*|1 - -----------|
                |         2     |
                \      tan (x)  /
---------------------------------
              tan(x)             

$$\frac{2}{\tan{\left (x \right )}} \left(- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

  /                               2                  3\
  |                  /       2   \      /       2   \ |
  |         2      5*\1 + tan (x)/    3*\1 + tan (x)/ |
2*|2 + 2*tan (x) - ---------------- + ----------------|
  |                       2                  4        |
  \                    tan (x)            tan (x)     /

$$2 \left(\frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{3}}{\tan^{4}{\left (x \right )}} - \frac{5 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + 2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2\right)$$