Производная -1/(x*sin(x))

Вы ввели

  -1    
--------
x*sin(x)

$$- \frac{1}{x \sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = x \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \sin{\left (x \right )}\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = \sin{\left (x \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         В результате: $x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

-(-sin(x) - x*cos(x)) 
----------------------
       2    2         
      x *sin (x)      

$$- \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}} \left(- x \cos{\left (x \right )} - \sin{\left (x \right )}\right)$$

Вторая производная

 /                       2*(x*cos(x) + sin(x))   2*(x*cos(x) + sin(x))*cos(x)\ 
-|-2*cos(x) + x*sin(x) + --------------------- + ----------------------------| 
 \                                 x                        sin(x)           / 
-------------------------------------------------------------------------------
                                    2    2                                     
                                   x *sin (x)                                  

$$- \frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} + \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) - 2 \cos{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(2 x \cos{\left (x \right )} + 2 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$

Третья производная

                                                                                                               2                                                      
                     4*(-2*cos(x) + x*sin(x))   6*(x*cos(x) + sin(x))   4*(-2*cos(x) + x*sin(x))*cos(x)   6*cos (x)*(x*cos(x) + sin(x))   8*(x*cos(x) + sin(x))*cos(x)
-sin(x) + x*cos(x) + ------------------------ + --------------------- + ------------------------------- + ----------------------------- + ----------------------------
                                x                          2                         sin(x)                             2                           x*sin(x)          
                                                          x                                                          sin (x)                                          
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               2    2                                                                                 
                                                                              x *sin (x)                                                                              

$$\frac{1}{x^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x \cos{\left (x \right )} + \frac{4 \cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}} \left(x \sin{\left (x \right )} - 2 \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) - \sin{\left (x \right )} + \frac{1}{x} \left(4 x \sin{\left (x \right )} - 8 \cos{\left (x \right )}\right) + \frac{8 \cos{\left (x \right )}}{x \sin{\left (x \right )}} \left(x \cos{\left (x \right )} + \sin{\left (x \right )}\right) + \frac{1}{x^{2}} \left(6 x \cos{\left (x \right )} + 6 \sin{\left (x \right )}\right)\right)$$