Производная -1/(x*(x+2))

Вы ввели

   -1    
---------
x*(x + 2)

$$- \frac{1}{x \left(x + 2\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = x \left(x + 2\right)$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x + 2\right)\right)$:

      1. Применяем правило производной умножения:

         $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

         $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         $g{\left (x \right )} = x + 2$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

         1. дифференцируем $x + 2$ почленно:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            2. Производная постоянной $2$ равна нулю.

            В результате: $1$

         В результате: $2 x + 2$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{2 x + 2}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{2 x + 2}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{2 x + 2}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{2 x + 2}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}$

Первая производная

-(-2 - 2*x) 
------------
 2        2 
x *(x + 2)  

$$- \frac{- 2 x - 2}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /    2*(1 + x)   2*(1 + x)\
2*|1 - --------- - ---------|
  \        x         2 + x  /
-----------------------------
          2        2         
         x *(2 + x)          

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} \left(- \frac{4 x + 4}{x + 2} + 2 - \frac{1}{x} \left(4 x + 4\right)\right)$$

Третья производная

  /  2     2     3*(1 + x)   3*(1 + x)   4*(1 + x)\
4*|- - - ----- + --------- + --------- + ---------|
  |  x   2 + x        2              2   x*(2 + x)|
  \                  x        (2 + x)             /
---------------------------------------------------
                     2        2                    
                    x *(2 + x)                     

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 2\right)^{2}} \left(\frac{12 x + 12}{\left(x + 2\right)^{2}} - \frac{8}{x + 2} + \frac{16 x + 16}{x \left(x + 2\right)} - \frac{8}{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(12 x + 12\right)\right)$$