Производная -5*cot(x/5)

Вы ввели

      /x\
-5*cot|-|
      \5/

$$- 5 \cot{\left(\frac{x}{5} \right)}$$

d /      /x\\
--|-5*cot|-||
dx\      \5//

$$\frac{d}{d x} \left(- 5 \cot{\left(\frac{x}{5} \right)}\right)$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

      Method #1

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

      2. Заменим $u = \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

      3. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{5} \right)}$:

         1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

            $\tan{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

         2. Применим правило производной частного:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

            2. Производная синуса есть косинус:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

               В результате последовательности правил:

               $\frac{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

            Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

            2. Производная косинус есть минус синус:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

               1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

                  1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

                  Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

               В результате последовательности правил:

               $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

            Теперь применим правило производной деления:

            $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

      Method #2

      1. Перепишем функции, чтобы дифференцировать:

         $\cot{\left(\frac{x}{5} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

      2. Применим правило производной частного:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{5} \right)}$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{5} \right)}$.

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

         2. Производная косинус есть минус синус:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

            В результате последовательности правил:

            $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

         Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Заменим $u = \frac{x}{5}$.

         2. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{x}{5}$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $\frac{1}{5}$

            В результате последовательности правил:

            $\frac{\cos{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$

         Теперь применим правило производной деления:

         $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{5 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}\right)}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)}}$

Первая производная

       2/x\
1 + cot |-|
        \5/

$$\cot^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} + 1$$

Вторая производная

   /       2/x\\    /x\
-2*|1 + cot |-||*cot|-|
   \        \5//    \5/
-----------------------
           5           

$$- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} + 1\right) \cot{\left(\frac{x}{5} \right)}}{5}$$

Третья производная

  /       2/x\\ /         2/x\\
2*|1 + cot |-||*|1 + 3*cot |-||
  \        \5// \          \5//
-------------------------------
               25              

$$\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{5} \right)} + 1\right)}{25}$$

График