Производная -(6/(x*(x+6)))

Вы ввели

      6    
- ---------
  x*(x + 6)

$$- 6 \frac{1}{x \left(x + 6\right)}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Заменим $u = x \left(x + 6\right)$.

      2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(x \left(x + 6\right)\right)$:

         1. Применяем правило производной умножения:

            $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

            $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

            1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

            $g{\left (x \right )} = x + 6$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

            1. дифференцируем $x + 6$ почленно:

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               2. Производная постоянной $6$ равна нулю.

               В результате: $1$

            В результате: $2 x + 6$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2 x + 6}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$

      Таким образом, в результате: $- \frac{12 x + 36}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $\frac{12 x + 36}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{12 x + 36}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{12 x + 36}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$

Первая производная

-6*(-6 - 2*x)
-------------
  2        2 
 x *(x + 6)  

$$- \frac{- 12 x - 36}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /    2*(3 + x)   2*(3 + x)\
12*|1 - --------- - ---------|
   \        x         6 + x  /
------------------------------
          2        2          
         x *(6 + x)           

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}} \left(- \frac{24 x + 72}{x + 6} + 12 - \frac{1}{x} \left(24 x + 72\right)\right)$$

Третья производная

   /  2     2     3*(3 + x)   3*(3 + x)   4*(3 + x)\
24*|- - - ----- + --------- + --------- + ---------|
   |  x   6 + x        2              2   x*(6 + x)|
   \                  x        (6 + x)             /
----------------------------------------------------
                     2        2                     
                    x *(6 + x)                      

$$\frac{1}{x^{2} \left(x + 6\right)^{2}} \left(\frac{72 x + 216}{\left(x + 6\right)^{2}} - \frac{48}{x + 6} + \frac{96 x + 288}{x \left(x + 6\right)} - \frac{48}{x} + \frac{1}{x^{2}} \left(72 x + 216\right)\right)$$