Производная -sin(2/x)^(3)

Вы ввели

    3/2\
-sin |-|
     \x/

$$- \sin^{3}{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Заменим $u = \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{3}$ получим $3 u^{2}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$:

      1. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{6}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

   Таким образом, в результате: $\frac{6}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

---

Ответ:

$\frac{6}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

Первая производная

     2/2\    /2\
6*sin |-|*cos|-|
      \x/    \x/
----------------
        2       
       x        

$$\frac{6}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Вторая производная

   /   2/2\                        2/2\\       
   |sin |-|                   2*cos |-||       
   |    \x/      /2\    /2\         \x/|    /2\
12*|------- - cos|-|*sin|-| - ---------|*sin|-|
   \   x         \x/    \x/       x    /    \x/
-----------------------------------------------
                        3                      
                       x                       

$$\frac{12}{x^{3}} \left(- \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{1}{x} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{2}{x} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )}\right) \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Третья производная

   /       3/2\                           3/2\         2/2\    /2\         2/2\    /2\\
   |  6*sin |-|                      4*cos |-|   14*sin |-|*cos|-|   12*cos |-|*sin|-||
   |        \x/        2/2\    /2\         \x/          \x/    \x/          \x/    \x/|
12*|- --------- + 3*sin |-|*cos|-| + --------- - ----------------- + -----------------|
   |      x             \x/    \x/        2               2                  x        |
   \                                     x               x                            /
---------------------------------------------------------------------------------------
                                            4                                          
                                           x                                           

$$\frac{1}{x^{4}} \left(36 \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{72}{x} \sin^{3}{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{144}{x} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{168}{x^{2}} \sin^{2}{\left (\frac{2}{x} \right )} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{48}{x^{2}} \cos^{3}{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$