Производная (-x)/(x+1)

Вы ввели

 -x  
-----
x + 1

$$\frac{-1 x}{x + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

   $f{\left (x \right )} = - x$ и $g{\left (x \right )} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Таким образом, в результате: $-1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    1        x    
- ----- + --------
  x + 1          2
          (x + 1) 

$$\frac{x}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x + 1}$$

Вторая производная

  /      x  \
2*|1 - -----|
  \    1 + x/
-------------
          2  
   (1 + x)   

$$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} \left(- \frac{2 x}{x + 1} + 2\right)$$

Третья производная

  /       x  \
6*|-1 + -----|
  \     1 + x/
--------------
          3   
   (1 + x)    

$$\frac{\frac{6 x}{x + 1} - 6}{\left(x + 1\right)^{3}}$$