Производная -((x)/(x^2+9))

Вы ввели

    x   
- ------
   2    
  x  + 9

$$- \frac{x}{x^{2} + 9}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x$ и $g{\left (x \right )} = x^{2} + 9$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 9$ почленно:

         1. Производная постоянной $9$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{- x^{2} + 9}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{- x^{2} + 9}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{x^{2} - 9}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{x^{2} - 9}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}}$

Первая производная

                 2  
    1         2*x   
- ------ + ---------
   2               2
  x  + 9   / 2    \ 
           \x  + 9/ 

$$\frac{2 x^{2}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} + 9}$$

Вторая производная

    /        2 \
    |     4*x  |
2*x*|3 - ------|
    |         2|
    \    9 + x /
----------------
           2    
   /     2\     
   \9 + x /     

$$\frac{2 x}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} \left(- \frac{4 x^{2}}{x^{2} + 9} + 3\right)$$

Третья производная

  /        2          4  \
  |     8*x        8*x   |
6*|1 - ------ + ---------|
  |         2           2|
  |    9 + x    /     2\ |
  \             \9 + x / /
--------------------------
                2         
        /     2\          
        \9 + x /          

$$\frac{1}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} \left(\frac{48 x^{4}}{\left(x^{2} + 9\right)^{2}} - \frac{48 x^{2}}{x^{2} + 9} + 6\right)$$