Производная -(x*sin(2/x))

Вы ввели

      /2\
-x*sin|-|
      \x/

$$- x \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применяем правило производной умножения:

      $\frac{d}{d x}\left(f{\left (x \right )} g{\left (x \right )}\right) = f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$

      $f{\left (x \right )} = x$; найдём $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      $g{\left (x \right )} = \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$; найдём $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. Заменим $u = \frac{2}{x}$.

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

      3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\frac{2}{x}\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

            Таким образом, в результате: $- \frac{2}{x^{2}}$

         В результате последовательности правил:

         $- \frac{2}{x^{2}} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

      В результате: $\sin{\left (\frac{2}{x} \right )} - \frac{2}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

   Таким образом, в результате: $- \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

---

Ответ:

$- \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$

Первая производная

                /2\
           2*cos|-|
     /2\        \x/
- sin|-| + --------
     \x/      x    

$$- \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{2}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Вторая производная

     /2\
4*sin|-|
     \x/
--------
    3   
   x    

$$\frac{4}{x^{3}} \sin{\left (\frac{2}{x} \right )}$$

Третья производная

   /                /2\\
   |           2*cos|-||
   |     /2\        \x/|
-4*|3*sin|-| + --------|
   \     \x/      x    /
------------------------
            4           
           x            

$$- \frac{1}{x^{4}} \left(12 \sin{\left (\frac{2}{x} \right )} + \frac{8}{x} \cos{\left (\frac{2}{x} \right )}\right)$$