Производная -((x^2+1)/x)

Вы ввели

 / 2    \ 
-\x  + 1/ 
----------
    x     

$$- \frac{x^{2} + 1}{x}$$

  / / 2    \ \
d |-\x  + 1/ |
--|----------|
dx\    x     /

$$\frac{d}{d x} \left(- \frac{x^{2} + 1}{x}\right)$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x^{2} + 1$ и $g{\left(x \right)} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

         1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

   Таким образом, в результате: $- \frac{x^{2} - 1}{x^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $-1 + \frac{1}{x^{2}}$

---

Ответ:

$-1 + \frac{1}{x^{2}}$

Первая производная

      2    
     x  + 1
-2 + ------
        2  
       x   

$$-2 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}$$

Вторая производная

  /         2\
  |    1 + x |
2*|1 - ------|
  |       2  |
  \      x   /
--------------
      x       

$$\frac{2 \cdot \left(1 - \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)}{x}$$

Третья производная

  /          2\
  |     1 + x |
6*|-1 + ------|
  |        2  |
  \       x   /
---------------
        2      
       x       

$$\frac{6 \left(-1 + \frac{x^{2} + 1}{x^{2}}\right)}{x^{2}}$$

График