Производная -((x^2+100)/x)

Вы ввели

   2      
  x  + 100
- --------
     x    

$$- \frac{1}{x} \left(x^{2} + 100\right)$$

Подробное решение

1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

   1. Применим правило производной частного:

      $\frac{d}{d x}\left(\frac{f{\left (x \right )}}{g{\left (x \right )}}\right) = \frac{1}{g^{2}{\left (x \right )}} \left(- f{\left (x \right )} \frac{d}{d x} g{\left (x \right )} + g{\left (x \right )} \frac{d}{d x} f{\left (x \right )}\right)$

      $f{\left (x \right )} = x^{2} + 100$ и $g{\left (x \right )} = x$.

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left (x \right )}$:

      1. дифференцируем $x^{2} + 100$ почленно:

         1. Производная постоянной $100$ равна нулю.

         2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

         В результате: $2 x$

      Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left (x \right )}$:

      1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      Теперь применим правило производной деления:

      $\frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} - 100\right)$

   Таким образом, в результате: $- \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} - 100\right)$

2. Теперь упростим:

   $-1 + \frac{100}{x^{2}}$

---

Ответ:

$-1 + \frac{100}{x^{2}}$

Первая производная

      2      
     x  + 100
-2 + --------
         2   
        x    

$$-2 + \frac{1}{x^{2}} \left(x^{2} + 100\right)$$

Вторая производная

  /           2\
  |    100 + x |
2*|1 - --------|
  |        2   |
  \       x    /
----------------
       x        

$$\frac{1}{x} \left(2 - \frac{1}{x^{2}} \left(2 x^{2} + 200\right)\right)$$

Третья производная

  /            2\
  |     100 + x |
6*|-1 + --------|
  |         2   |
  \        x    /
-----------------
         2       
        x        

$$\frac{1}{x^{2}} \left(-6 + \frac{1}{x^{2}} \left(6 x^{2} + 600\right)\right)$$