Производная 1/(2*sin(x))

Вы ввели

   1    
--------
2*sin(x)

$$\frac{1}{2 \sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 2 \sin{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2 \sin{\left (x \right )}\right)$:

   1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      Таким образом, в результате: $2 \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

     1            
- --------*cos(x) 
  2*sin(x)        
------------------
      sin(x)      

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2   
1   cos (x)
- + -------
2      2   
    sin (x)
-----------
   sin(x)  

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )}} \left(\frac{1}{2} + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

 /         2   \        
 |5   3*cos (x)|        
-|- + ---------|*cos(x) 
 |2       2    |        
 \     sin (x) /        
------------------------
           2            
        sin (x)         

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} \left(\frac{5}{2} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$