Производная 1/(2^x+1)

Вы ввели

  1   
------
 x    
2  + 1

$$\frac{1}{2^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 2^{x} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(2^{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $2^{x} + 1$ почленно:

      1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left (2 \right )}$

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $2^{x} \log{\left (2 \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

  x        
-2 *log(2) 
-----------
         2 
 / x    \  
 \2  + 1/  

$$- \frac{2^{x} \log{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

           /         x \
 x    2    |      2*2  |
2 *log (2)*|-1 + ------|
           |          x|
           \     1 + 2 /
------------------------
               2        
       /     x\         
       \1 + 2 /         

$$\frac{2^{x} \log^{2}{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}} \left(\frac{2 \cdot 2^{x}}{2^{x} + 1} - 1\right)$$

Третья производная

           /          2*x        x \
 x    3    |       6*2        6*2  |
2 *log (2)*|-1 - --------- + ------|
           |             2        x|
           |     /     x\    1 + 2 |
           \     \1 + 2 /          /
------------------------------------
                     2              
             /     x\               
             \1 + 2 /               

$$\frac{2^{x} \log^{3}{\left (2 \right )}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}} \left(- \frac{6 \cdot 2^{2 x}}{\left(2^{x} + 1\right)^{2}} + \frac{6 \cdot 2^{x}}{2^{x} + 1} - 1\right)$$