Производная 1/(exp(x)+1)

Вы ввели

  1   
------
 x    
e  + 1

$$\frac{1}{e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      2. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      В результате: $e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

     x   
   -e    
---------
        2
/ x    \ 
\e  + 1/ 

$$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/         x \   
|      2*e  |  x
|-1 + ------|*e 
|          x|   
\     1 + e /   
----------------
           2    
   /     x\     
   \1 + e /     

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right)$$

Третья производная

/          2*x        x \   
|       6*e        6*e  |  x
|-1 - --------- + ------|*e 
|             2        x|   
|     /     x\    1 + e |   
\     \1 + e /          /   
----------------------------
                 2          
         /     x\           
         \1 + e /           

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1} - \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right)$$