Производная 1/e^(1/x)

Вы ввели

  1  
-----
x ___
\/ E 

$$\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{\frac{1}{x}}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} e^{\frac{1}{x}}$:

   1. Заменим $u = \frac{1}{x}$.

   2. Производная $e^{u}$ само оно.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \frac{1}{x}$:

      1. В силу правила, применим: $\frac{1}{x}$ получим $- \frac{1}{x^{2}}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$

Первая производная

 -1 
 ---
  x 
e   
----
  2 
 x  

$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{2}}$$

Вторая производная

          -1 
          ---
/     1\   x 
|-2 + -|*e   
\     x/     
-------------
       3     
      x      

$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{3}} \left(-2 + \frac{1}{x}\right)$$

Третья производная

              -1 
              ---
/    1    6\   x 
|6 + -- - -|*e   
|     2   x|     
\    x     /     
-----------------
         4       
        x        

$$\frac{e^{- \frac{1}{x}}}{x^{4}} \left(6 - \frac{6}{x} + \frac{1}{x^{2}}\right)$$