Производная 1/(e^x-x)

Вы ввели

  1   
------
 x    
E  - x

$$\frac{1}{e^{x} - x}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = e^{x} - x$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(e^{x} - x\right)$:

   1. дифференцируем $e^{x} - x$ почленно:

      1. Производная $e^{x}$ само оно.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $-1$

      В результате: $e^{x} - 1$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{x} - 1}{\left(e^{x} - x\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{- e^{x} + 1}{\left(x - e^{x}\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{- e^{x} + 1}{\left(x - e^{x}\right)^{2}}$

Первая производная

       x 
  1 - e  
---------
        2
/ x    \ 
\E  - x/ 

$$\frac{- e^{x} + 1}{\left(e^{x} - x\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /           2     \ 
 |  /      x\      | 
 |2*\-1 + e /     x| 
-|------------ + e | 
 |        x        | 
 \   x - e         / 
---------------------
              2      
      /     x\       
      \x - e /       

$$- \frac{1}{\left(x - e^{x}\right)^{2}} \left(e^{x} + \frac{2 \left(e^{x} - 1\right)^{2}}{x - e^{x}}\right)$$

Третья производная

 /           3                      \ 
 |  /      x\      /      x\  x     | 
 |6*\-1 + e /    6*\-1 + e /*e     x| 
-|------------ + -------------- + e | 
 |         2              x         | 
 | /     x\          x - e          | 
 \ \x - e /                         / 
--------------------------------------
                      2               
              /     x\                
              \x - e /                

$$- \frac{1}{\left(x - e^{x}\right)^{2}} \left(e^{x} + \frac{6 \left(e^{x} - 1\right) e^{x}}{x - e^{x}} + \frac{6 \left(e^{x} - 1\right)^{3}}{\left(x - e^{x}\right)^{2}}\right)$$