Производная 1/(cos(t))^2

Вы ввели

   1   
-------
   2   
cos (t)

$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (t \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos^{2}{\left (t \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos^{2}{\left (t \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (t \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d t} \cos{\left (t \right )} = - \sin{\left (t \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left (t \right )} \cos{\left (t \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{2 \sin{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}}$

Первая производная

   2*sin(t)   
--------------
          2   
cos(t)*cos (t)

$$\frac{2 \sin{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*sin (t)|
2*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     cos (t) /
-----------------
        2        
     cos (t)     

$$\frac{1}{\cos^{2}{\left (t \right )}} \left(\frac{6 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} + 2\right)$$

Третья производная

  /         2   \       
  |    3*sin (t)|       
8*|2 + ---------|*sin(t)
  |        2    |       
  \     cos (t) /       
------------------------
           3            
        cos (t)         

$$\frac{8 \sin{\left (t \right )}}{\cos^{3}{\left (t \right )}} \left(\frac{3 \sin^{2}{\left (t \right )}}{\cos^{2}{\left (t \right )}} + 2\right)$$