Производная 1/(cos(x)-1)

Вы ввели

    1     
----------
cos(x) - 1

$$\frac{1}{\cos{\left (x \right )} - 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )} - 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)$:

   1. дифференцируем $\cos{\left (x \right )} - 1$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      2. Производная постоянной $-1$ равна нулю.

      В результате: $- \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    sin(x)   
-------------
            2
(cos(x) - 1) 

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

      2             
 2*sin (x)          
----------- + cos(x)
-1 + cos(x)         
--------------------
                2   
   (-1 + cos(x))    

$$\frac{1}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\cos{\left (x \right )} + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

/                          2      \       
|       6*cos(x)      6*sin (x)   |       
|-1 + ----------- + --------------|*sin(x)
|     -1 + cos(x)                2|       
\                   (-1 + cos(x)) /       
------------------------------------------
                           2              
              (-1 + cos(x))               

$$\frac{\sin{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{6 \cos{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )} - 1} + \frac{6 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\left(\cos{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$