Производная 1/(cos(x)-sin(x))

Вы ввели

       1       
---------------
cos(x) - sin(x)

$$\frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{- \sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$\frac{\sqrt{2} \sin{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{- \sin{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

 cos(x) + sin(x)  
------------------
                 2
(cos(x) - sin(x)) 

$$\frac{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}{\left(- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /                       2\ 
 |    2*(cos(x) + sin(x)) | 
-|1 + --------------------| 
 |                      2 | 
 \    (-cos(x) + sin(x))  / 
----------------------------
      -cos(x) + sin(x)      

$$- \frac{1}{\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right)$$

Третья производная

/                       2\                  
|    6*(cos(x) + sin(x)) |                  
|5 + --------------------|*(cos(x) + sin(x))
|                      2 |                  
\    (-cos(x) + sin(x))  /                  
--------------------------------------------
                              2             
            (-cos(x) + sin(x))              

$$\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(5 + \frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}\right) \left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$$