Производная 1/(cos(x)+sin(x))

Вы ввели

       1       
---------------
cos(x) + sin(x)

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)$:

   1. дифференцируем $\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$ почленно:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      2. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{- \sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{\sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1}$

---

Ответ:

$- \frac{\sqrt{2} \cos{\left (x + \frac{\pi}{4} \right )}}{\sin{\left (2 x \right )} + 1}$

Первая производная

 -cos(x) + sin(x) 
------------------
                 2
(cos(x) + sin(x)) 

$$\frac{\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}$$

Вторая производная

                        2
    2*(-cos(x) + sin(x)) 
1 + ---------------------
                       2 
      (cos(x) + sin(x))  
-------------------------
     cos(x) + sin(x)     

$$\frac{1}{\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}} \left(\frac{2 \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 1\right)$$

Третья производная

/                        2\                   
|    6*(-cos(x) + sin(x)) |                   
|5 + ---------------------|*(-cos(x) + sin(x))
|                       2 |                   
\      (cos(x) + sin(x))  /                   
----------------------------------------------
                               2              
              (cos(x) + sin(x))               

$$\frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} \left(\frac{6 \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)^{2}}{\left(\sin{\left (x \right )} + \cos{\left (x \right )}\right)^{2}} + 5\right) \left(\sin{\left (x \right )} - \cos{\left (x \right )}\right)$$