Производная 1/cos(x)^2

Вы ввели

     1   
1*-------
     2   
  cos (x)

$$1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

d /     1   \
--|1*-------|
dx|     2   |
  \  cos (x)/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left(x \right)}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{2}$ получим $2 u$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

      В результате последовательности правил:

      $- 2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

---

Ответ:

$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$

Первая производная

   2*sin(x)   
--------------
          2   
cos(x)*cos (x)

$$\frac{2 \sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} \cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Вторая производная

  /         2   \
  |    3*sin (x)|
2*|1 + ---------|
  |        2    |
  \     cos (x) /
-----------------
        2        
     cos (x)     

$$\frac{2 \cdot \left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 1\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$

Третья производная

  /         2   \       
  |    3*sin (x)|       
8*|2 + ---------|*sin(x)
  |        2    |       
  \     cos (x) /       
------------------------
           3            
        cos (x)         

$$\frac{8 \cdot \left(\frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2\right) \sin{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}}$$

График