Производная 1/cos(x)^(n)

Вы ввели

   1   
-------
   n   
cos (x)

$$\frac{1}{\cos^{n}{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \cos^{n}{\left (x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{\partial}{\partial x} \cos^{n}{\left (x \right )}$:

   1. Заменим $u = \cos{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $u^{n}$ получим $\frac{n u^{n}}{u}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )}$:

      1. Производная косинус есть минус синус:

         $\frac{d}{d x} \cos{\left (x \right )} = - \sin{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{n \cos^{n}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{n \cos^{- n}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$

4. Теперь упростим:

   $n \sin{\left (x \right )} \cos^{- n - 1}{\left (x \right )}$

---

Ответ:

$n \sin{\left (x \right )} \cos^{- n - 1}{\left (x \right )}$

Первая производная

     -n          
n*cos  (x)*sin(x)
-----------------
      cos(x)     

$$\frac{n \cos^{- n}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \sin{\left (x \right )}$$

Вторая производная

           /       2           2   \
     -n    |    sin (x)   n*sin (x)|
n*cos  (x)*|1 + ------- + ---------|
           |       2          2    |
           \    cos (x)    cos (x) /

$$n \left(\frac{n \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{\sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 1\right) \cos^{- n}{\left (x \right )}$$

Третья производная

           /               2       2    2             2   \       
     -n    |          2*sin (x)   n *sin (x)   3*n*sin (x)|       
n*cos  (x)*|2 + 3*n + --------- + ---------- + -----------|*sin(x)
           |              2           2             2     |       
           \           cos (x)     cos (x)       cos (x)  /       
------------------------------------------------------------------
                              cos(x)                              

$$\frac{n \cos^{- n}{\left (x \right )}}{\cos{\left (x \right )}} \left(\frac{n^{2} \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 n \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 3 n + \frac{2 \sin^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )}} + 2\right) \sin{\left (x \right )}$$