Производная 1/log(log(x))

Вы ввели

     1     
-----------
log(log(x))

$$\frac{1}{\log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \log{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (x \right )}$:

      1. Производная $\log{\left (x \right )}$ является $\frac{1}{x}$.

      В результате последовательности правил:

      $\frac{1}{x \log{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$

Первая производная

         -1          
---------------------
            2        
x*log(x)*log (log(x))

$$- \frac{1}{x \log{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$$

Вторая производная

      1              2         
1 + ------ + ------------------
    log(x)   log(x)*log(log(x))
-------------------------------
      2           2            
     x *log(x)*log (log(x))    

$$\frac{1 + \frac{1}{\log{\left (x \right )}} + \frac{2}{\log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}}{x^{2} \log{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}$$

Третья производная

 /       2        3              6                     6                     6          \ 
-|2 + ------- + ------ + ------------------ + ------------------- + --------------------| 
 |       2      log(x)   log(x)*log(log(x))      2                     2       2        | 
 \    log (x)                                 log (x)*log(log(x))   log (x)*log (log(x))/ 
------------------------------------------------------------------------------------------
                                   3           2                                          
                                  x *log(x)*log (log(x))                                  

$$- \frac{1}{x^{3} \log{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} \left(2 + \frac{3}{\log{\left (x \right )}} + \frac{6}{\log{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} + \frac{2}{\log^{2}{\left (x \right )}} + \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )} \log{\left (\log{\left (x \right )} \right )}} + \frac{6}{\log^{2}{\left (x \right )} \log^{2}{\left (\log{\left (x \right )} \right )}}\right)$$