Производная 1/(log(sin(x)))

Вы ввели

     1     
-----------
log(sin(x))

$$\frac{1}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}}$

Первая производная

      -cos(x)      
-------------------
   2               
log (sin(x))*sin(x)

$$- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

       2                2        
    cos (x)        2*cos (x)     
1 + ------- + -------------------
       2                     2   
    sin (x)   log(sin(x))*sin (x)
---------------------------------
              2                  
           log (sin(x))          

$$\frac{1}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$

Третья производная

   /                     2                2                     2         \       
   |         3        cos (x)        3*cos (x)             3*cos (x)      |       
-2*|1 + ----------- + ------- + ------------------- + --------------------|*cos(x)
   |    log(sin(x))      2                     2         2            2   |       
   \                  sin (x)   log(sin(x))*sin (x)   log (sin(x))*sin (x)/       
----------------------------------------------------------------------------------
                                  2                                               
                               log (sin(x))*sin(x)                                

$$- \frac{2 \cos{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (x \right )}} \left(1 + \frac{\cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}} + \frac{3 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\sin{\left (x \right )} \right )} \sin^{2}{\left (x \right )}}\right)$$