Производная 1/log(tan(x))

Вы ввели

     1     
-----------
log(tan(x))

$$\frac{1}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}$:

   1. Заменим $u = \tan{\left (x \right )}$.

   2. Производная $\log{\left (u \right )}$ является $\frac{1}{u}$.

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )}$:

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

      В результате последовательности правил:

      $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \cos^{2}{\left (x \right )} \tan{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{2}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (2 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{2}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \sin{\left (2 x \right )}}$

Первая производная

   /       2   \   
  -\1 + tan (x)/   
-------------------
   2               
log (tan(x))*tan(x)

$$- \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

              /            2          /       2   \  \
/       2   \ |     1 + tan (x)     2*\1 + tan (x)/  |
\1 + tan (x)/*|-2 + ----------- + -------------------|
              |          2                       2   |
              \       tan (x)     log(tan(x))*tan (x)/
------------------------------------------------------
                        2                             
                     log (tan(x))                     

$$\frac{1}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan^{2}{\left (x \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - 2\right)$$

Третья производная

                /                         2                                      2                     2                       \
                |            /       2   \      /       2   \       /       2   \         /       2   \         /       2   \  |
  /       2   \ |            \1 + tan (x)/    2*\1 + tan (x)/     3*\1 + tan (x)/       3*\1 + tan (x)/       6*\1 + tan (x)/  |
2*\1 + tan (x)/*|-2*tan(x) - -------------- + --------------- - ------------------- - -------------------- + ------------------|
                |                  3               tan(x)                      3         2            3      log(tan(x))*tan(x)|
                \               tan (x)                         log(tan(x))*tan (x)   log (tan(x))*tan (x)                     /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                             2                                                                  
                                                          log (tan(x))                                                          

$$\frac{2}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(- \frac{\left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}} - \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\log^{2}{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan^{3}{\left (x \right )}} + \frac{2 \tan^{2}{\left (x \right )} + 2}{\tan{\left (x \right )}} + \frac{6 \tan^{2}{\left (x \right )} + 6}{\log{\left (\tan{\left (x \right )} \right )} \tan{\left (x \right )}} - 2 \tan{\left (x \right )}\right)$$