Производная 1/(1-exp(-x))

Вы ввели

   1   
-------
     -x
1 - e  

$$\frac{1}{1 - e^{- x}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 - e^{- x}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(1 - e^{- x}\right)$:

   1. дифференцируем $1 - e^{- x}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Заменим $u = - x$.

         2. Производная $e^{u}$ само оно.

         3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- x\right)$:

            1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

               1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

               Таким образом, в результате: $-1$

            В результате последовательности правил:

            $- e^{- x}$

         Таким образом, в результате: $e^{- x}$

      В результате: $e^{- x}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{e^{- x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    -x    
  -e      
----------
         2
/     -x\ 
\1 - e  / 

$$- \frac{e^{- x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}}$$

Вторая производная

/        -x \    
|     2*e   |  -x
|1 + -------|*e  
|         -x|    
\    1 - e  /    
-----------------
             2   
    /     -x\    
    \1 - e  /    

$$\frac{e^{- x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}} \left(1 + \frac{2 e^{- x}}{1 - e^{- x}}\right)$$

Третья производная

 /        -x        -2*x  \     
 |     6*e       6*e      |  -x 
-|1 + ------- + ----------|*e   
 |         -x            2|     
 |    1 - e     /     -x\ |     
 \              \1 - e  / /     
--------------------------------
                    2           
           /     -x\            
           \1 - e  /            

$$- \frac{e^{- x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}} \left(1 + \frac{6 e^{- x}}{1 - e^{- x}} + \frac{6 e^{- 2 x}}{\left(1 - e^{- x}\right)^{2}}\right)$$