Производная 1/(1-e^x)

Вы ввели

  1   
------
     x
1 - E 

$$\frac{1}{- e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - e^{x} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- e^{x} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная $e^{x}$ само оно.

         Таким образом, в результате: $- e^{x}$

      В результате: $- e^{x}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{x}}{\left(- e^{x} + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

     x   
    e    
---------
        2
/     x\ 
\1 - E / 

$$\frac{e^{x}}{\left(- e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

/         x \   
|      2*e  |  x
|1 - -------|*e 
|          x|   
\    -1 + e /   
----------------
            2   
   /      x\    
   \-1 + e /    

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} - 1}\right)$$

Третья производная

/         x         2*x  \   
|      6*e       6*e     |  x
|1 - ------- + ----------|*e 
|          x            2|   
|    -1 + e    /      x\ |   
\              \-1 + e / /   
-----------------------------
                   2         
          /      x\          
          \-1 + e /          

$$\frac{e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}} \left(1 - \frac{6 e^{x}}{e^{x} - 1} + \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{2}}\right)$$