Производная 1/(1-sin(x))

Вы ввели

    1     
----------
1 - sin(x)

$$\frac{1}{- \sin{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \sin{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \sin{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Производная синуса есть косинус:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

         Таким образом, в результате: $- \cos{\left (x \right )}$

      В результате: $- \cos{\left (x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}$

Первая производная

    cos(x)   
-------------
            2
(1 - sin(x)) 

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(- \sin{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /      2             \ 
 | 2*cos (x)          | 
-|----------- + sin(x)| 
 \-1 + sin(x)         / 
------------------------
                  2     
     (-1 + sin(x))      

$$- \frac{1}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\sin{\left (x \right )} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1}\right)$$

Третья производная

/                          2      \       
|       6*sin(x)      6*cos (x)   |       
|-1 + ----------- + --------------|*cos(x)
|     -1 + sin(x)                2|       
\                   (-1 + sin(x)) /       
------------------------------------------
                           2              
              (-1 + sin(x))               

$$\frac{\cos{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(-1 + \frac{6 \sin{\left (x \right )}}{\sin{\left (x \right )} - 1} + \frac{6 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(\sin{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$