Производная 1/(1-tan(x))

Вы ввели

    1     
----------
1 - tan(x)

$$\frac{1}{- \tan{\left (x \right )} + 1}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = - \tan{\left (x \right )} + 1$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)$:

   1. дифференцируем $- \tan{\left (x \right )} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

            Один из способов:

            1. $\frac{d}{d x} \tan{\left (x \right )} = \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}}$

         Таким образом, в результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

      В результате: $- \frac{1}{\cos^{2}{\left (x \right )}} \left(\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}\right)$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2} \cos^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

        2    
 1 + tan (x) 
-------------
            2
(1 - tan(x)) 

$$\frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\left(- \tan{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

                /         2            \
  /       2   \ |  1 + tan (x)         |
2*\1 + tan (x)/*|- ----------- + tan(x)|
                \  -1 + tan(x)         /
----------------------------------------
                          2             
             (-1 + tan(x))              

$$\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\tan{\left (x \right )} - \frac{\tan^{2}{\left (x \right )} + 1}{\tan{\left (x \right )} - 1}\right) \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)$$

Третья производная

                /                               2                         \
                |                  /       2   \      /       2   \       |
  /       2   \ |         2      3*\1 + tan (x)/    6*\1 + tan (x)/*tan(x)|
2*\1 + tan (x)/*|1 + 3*tan (x) + ---------------- - ----------------------|
                |                              2         -1 + tan(x)      |
                \                 (-1 + tan(x))                           /
---------------------------------------------------------------------------
                                            2                              
                               (-1 + tan(x))                               

$$\frac{2}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}} \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \left(3 \tan^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{6 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \tan{\left (x \right )}}{\tan{\left (x \right )} - 1} + \frac{3 \left(\tan^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2}}{\left(\tan{\left (x \right )} - 1\right)^{2}}\right)$$