Производная 1/(1+exp(x))

Вы ввели

    1   
1*------
       x
  1 + e 

$$1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}$$

d /    1   \
--|1*------|
dx|       x|
  \  1 + e /

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{e^{x} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = e^{x} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $e^{x} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Производная $e^{x}$ само оно.

      В результате: $e^{x}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$

2. Теперь упростим:

   $- \frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{1}{4 \cosh^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Первая производная

     x   
   -e    
---------
        2
/     x\ 
\1 + e / 

$$- \frac{e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

 /        x \    
 |     2*e  |  x 
-|1 - ------|*e  
 |         x|    
 \    1 + e /    
-----------------
            2    
    /     x\     
    \1 + e /     

$$- \frac{\left(1 - \frac{2 e^{x}}{e^{x} + 1}\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

 /        x         2*x \    
 |     6*e       6*e    |  x 
-|1 - ------ + ---------|*e  
 |         x           2|    
 |    1 + e    /     x\ |    
 \             \1 + e / /    
-----------------------------
                  2          
          /     x\           
          \1 + e /           

$$- \frac{\left(1 - \frac{6 e^{x}}{e^{x} + 1} + \frac{6 e^{2 x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}\right) e^{x}}{\left(e^{x} + 1\right)^{2}}$$

График