Производная 1/(1+e^-z)

Вы ввели

   1   
-------
     -z
1 + E  

$$\frac{1}{1 + e^{- z}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = 1 + e^{- z}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(1 + e^{- z}\right)$:

   1. дифференцируем $1 + e^{- z}$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. Заменим $u = - z$.

      3. Производная $e^{u}$ само оно.

      4. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d z}\left(- z\right)$:

         1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

            1. В силу правила, применим: $z$ получим $1$

            Таким образом, в результате: $-1$

         В результате последовательности правил:

         $- e^{- z}$

      В результате: $- e^{- z}$

   В результате последовательности правил:

   $\frac{e^{- z}}{\left(1 + e^{- z}\right)^{2}}$

4. Теперь упростим:

   $\frac{e^{z}}{\left(e^{z} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{e^{z}}{\left(e^{z} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

    -z    
   e      
----------
         2
/     -z\ 
\1 + E  / 

$$\frac{e^{- z}}{\left(1 + e^{- z}\right)^{2}}$$

Вторая производная

/         -z \    
|      2*e   |  -z
|-1 + -------|*e  
|          -z|    
\     1 + e  /    
------------------
             2    
    /     -z\     
    \1 + e  /     

$$\frac{e^{- z}}{\left(1 + e^{- z}\right)^{2}} \left(-1 + \frac{2 e^{- z}}{1 + e^{- z}}\right)$$

Третья производная

/        -z        -2*z  \    
|     6*e       6*e      |  -z
|1 - ------- + ----------|*e  
|         -z            2|    
|    1 + e     /     -z\ |    
\              \1 + e  / /    
------------------------------
                   2          
          /     -z\           
          \1 + e  /           

$$\frac{e^{- z}}{\left(1 + e^{- z}\right)^{2}} \left(1 - \frac{6 e^{- z}}{1 + e^{- z}} + \frac{6 e^{- 2 z}}{\left(1 + e^{- z}\right)^{2}}\right)$$