Производная 1/(1+1/x)

Вы ввели

     1   
1*-------
        1
  1 + 1*-
        x

$$1 \cdot \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}$$

d /     1   \
--|1*-------|
dx|        1|
  |  1 + 1*-|
  \        x/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{1 + 1 \cdot \frac{1}{x}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ и $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

      В результате: $1$

   Теперь применим правило производной деления:

   $\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$\frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}}$

Первая производная

      1      
-------------
            2
 2 /      1\ 
x *|1 + 1*-| 
   \      x/ 

$$\frac{1}{x^{2} \left(1 + 1 \cdot \frac{1}{x}\right)^{2}}$$

Вторая производная

   /        1    \
-2*|1 - ---------|
   |      /    1\|
   |    x*|1 + -||
   \      \    x//
------------------
             2    
    3 /    1\     
   x *|1 + -|     
      \    x/     

$$- \frac{2 \cdot \left(1 - \frac{1}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)}\right)}{x^{3} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}$$

Третья производная

  /         1            2    \
6*|1 + ----------- - ---------|
  |              2     /    1\|
  |     2 /    1\    x*|1 + -||
  |    x *|1 + -|      \    x/|
  \       \    x/             /
-------------------------------
                    2          
           4 /    1\           
          x *|1 + -|           
             \    x/           

$$\frac{6 \cdot \left(1 - \frac{2}{x \left(1 + \frac{1}{x}\right)} + \frac{1}{x^{2} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}\right)}{x^{4} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^{2}}$$

График