Производная (1/(1+(x^2)))

Вы ввели

    1   
1*------
       2
  1 + x 

$$1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$$

d /    1   \
--|1*------|
dx|       2|
  \  1 + x /

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{x^{2} + 1}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = x^{2} + 1$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. дифференцируем $x^{2} + 1$ почленно:

      1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

      2. В силу правила, применим: $x^{2}$ получим $2 x$

      В результате: $2 x$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$

Первая производная

   -2*x  
---------
        2
/     2\ 
\1 + x / 

$$- \frac{2 x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Вторая производная

  /         2 \
  |      4*x  |
2*|-1 + ------|
  |          2|
  \     1 + x /
---------------
           2   
   /     2\    
   \1 + x /    

$$\frac{2 \cdot \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Третья производная

      /         2 \
      |      2*x  |
-24*x*|-1 + ------|
      |          2|
      \     1 + x /
-------------------
             3     
     /     2\      
     \1 + x /      

$$- \frac{24 x \left(\frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1} - 1\right)}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$$

График