Производная 1/sin(4*x)

Вы ввели

   1    
--------
sin(4*x)

$$\frac{1}{\sin{\left (4 x \right )}}$$

Подробное решение

1. Заменим $u = \sin{\left (4 x \right )}$.

2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (4 x \right )}$:

   1. Заменим $u = 4 x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left (u \right )} = \cos{\left (u \right )}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x}\left(4 x\right)$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $4$

      В результате последовательности правил:

      $4 \cos{\left (4 x \right )}$

   В результате последовательности правил:

   $- \frac{4 \cos{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}}$

---

Ответ:

$- \frac{4 \cos{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}}$

Первая производная

-4*cos(4*x)
-----------
    2      
 sin (4*x) 

$$- \frac{4 \cos{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}}$$

Вторая производная

   /         2     \
   |    2*cos (4*x)|
16*|1 + -----------|
   |        2      |
   \     sin (4*x) /
--------------------
      sin(4*x)      

$$\frac{1}{\sin{\left (4 x \right )}} \left(16 + \frac{32 \cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}}\right)$$

Третья производная

    /         2     \         
    |    6*cos (4*x)|         
-64*|5 + -----------|*cos(4*x)
    |        2      |         
    \     sin (4*x) /         
------------------------------
             2                
          sin (4*x)           

$$- \frac{64 \cos{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}} \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left (4 x \right )}}{\sin^{2}{\left (4 x \right )}}\right)$$