Производная 1/sin(pi*x)

Вы ввели

      1    
1*---------
  sin(pi*x)

$$1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(\pi x \right)}}$$

d /      1    \
--|1*---------|
dx\  sin(pi*x)/

$$\frac{d}{d x} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(\pi x \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 1$ и $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\pi x \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Заменим $u = \pi x$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \pi x$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $x$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $\pi$

      В результате последовательности правил:

      $\pi \cos{\left(\pi x \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}$

Первая производная

-pi*cos(pi*x) 
--------------
     2        
  sin (pi*x)  

$$- \frac{\pi \cos{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}$$

Вторая производная

    /         2      \
  2 |    2*cos (pi*x)|
pi *|1 + ------------|
    |        2       |
    \     sin (pi*x) /
----------------------
      sin(pi*x)       

$$\frac{\pi^{2} \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}\right)}{\sin{\left(\pi x \right)}}$$

Третья производная

     /         2      \           
   3 |    6*cos (pi*x)|           
-pi *|5 + ------------|*cos(pi*x) 
     |        2       |           
     \     sin (pi*x) /           
----------------------------------
               2                  
            sin (pi*x)            

$$- \frac{\pi^{3} \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}\right) \cos{\left(\pi x \right)}}{\sin^{2}{\left(\pi x \right)}}$$

График