Производная 1/sin(2*t)

Вы ввели

     1    
1*--------
  sin(2*t)

$$1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(2 t \right)}}$$

d /     1    \
--|1*--------|
dt\  sin(2*t)/

$$\frac{d}{d t} 1 \cdot \frac{1}{\sin{\left(2 t \right)}}$$

Подробное решение

1. Применим правило производной частного:

   $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

   $f{\left(t \right)} = 1$ и $g{\left(t \right)} = \sin{\left(2 t \right)}$.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

   1. Производная постоянной $1$ равна нулю.

   Чтобы найти $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

   1. Заменим $u = 2 t$.

   2. Производная синуса есть косинус:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d t} 2 t$:

      1. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

         1. В силу правила, применим: $t$ получим $1$

         Таким образом, в результате: $2$

      В результате последовательности правил:

      $2 \cos{\left(2 t \right)}$

   Теперь применим правило производной деления:

   $- \frac{2 \cos{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}$

---

Ответ:

$- \frac{2 \cos{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}$

Первая производная

-2*cos(2*t)
-----------
    2      
 sin (2*t) 

$$- \frac{2 \cos{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}$$

Вторая производная

  /         2     \
  |    2*cos (2*t)|
4*|1 + -----------|
  |        2      |
  \     sin (2*t) /
-------------------
      sin(2*t)     

$$\frac{4 \cdot \left(1 + \frac{2 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}\right)}{\sin{\left(2 t \right)}}$$

Третья производная

   /         2     \         
   |    6*cos (2*t)|         
-8*|5 + -----------|*cos(2*t)
   |        2      |         
   \     sin (2*t) /         
-----------------------------
             2               
          sin (2*t)          

$$- \frac{8 \cdot \left(5 + \frac{6 \cos^{2}{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}\right) \cos{\left(2 t \right)}}{\sin^{2}{\left(2 t \right)}}$$

График