Производная 1/sin(x)-cot(x)

Вы ввели

  1            
------ - cot(x)
sin(x)         

$$- \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$$

Подробное решение

1. дифференцируем $- \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}}$ почленно:

   1. Заменим $u = \sin{\left (x \right )}$.

   2. В силу правила, применим: $\frac{1}{u}$ получим $- \frac{1}{u^{2}}$

   3. Затем примените цепочку правил. Умножим на $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )}$:

      1. Производная синуса есть косинус:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left (x \right )} = \cos{\left (x \right )}$

      В результате последовательности правил:

      $- \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

   4. Производная произведения константы на функцию есть произведение этой константы на производную данной функции.

      1. Есть несколько способов вычислить эту производную.

         Один из способов:

         1. $\frac{d}{d x} \cot{\left (x \right )} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

      Таким образом, в результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}}$

   В результате: $\frac{\sin^{2}{\left (x \right )} + \cos^{2}{\left (x \right )}}{\cos^{2}{\left (x \right )} \tan^{2}{\left (x \right )}} - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

2. Теперь упростим:

   $\frac{- \cos{\left (x \right )} + 1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

---

Ответ:

$\frac{- \cos{\left (x \right )} + 1}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$

Первая производная

       2       cos(x)
1 + cot (x) - -------
                 2   
              sin (x)

$$\cot^{2}{\left (x \right )} + 1 - \frac{\cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}}$$

Вторая производная

                                       2   
  1        /       2   \          2*cos (x)
------ - 2*\1 + cot (x)/*cot(x) + ---------
sin(x)                                3    
                                   sin (x) 

$$- 2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot{\left (x \right )} + \frac{1}{\sin{\left (x \right )}} + \frac{2 \cos^{2}{\left (x \right )}}{\sin^{3}{\left (x \right )}}$$

Третья производная

               2        3                                        
  /       2   \    6*cos (x)   5*cos(x)        2    /       2   \
2*\1 + cot (x)/  - --------- - -------- + 4*cot (x)*\1 + cot (x)/
                       4          2                              
                    sin (x)    sin (x)                           

$$2 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right)^{2} + 4 \left(\cot^{2}{\left (x \right )} + 1\right) \cot^{2}{\left (x \right )} - \frac{5 \cos{\left (x \right )}}{\sin^{2}{\left (x \right )}} - \frac{6 \cos^{3}{\left (x \right )}}{\sin^{4}{\left (x \right )}}$$